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Temas |
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4/09 - 8/09
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Capítulo 1:
Presentación de la materia. Introducción. Ejemplos.
Materiales: Capítulo
0 y Capítulo 1 de
Vidyasagar, Capítulo 0 y Capítulo
1 de Khalil (bastantes e interesantes ejemplos)
Problemas: Adicionales
al Capítulo 1. Capítulo 2:
Ecuaciones Diferenciales No
Lineales.
Espacios vectoriales lineales, espacios lineales normados.
Definiciónes y ejemplos de Campos y
Anillos. Utilidades de la norma: para definir convergencia de
sucesiones y continuidad de
funciones.
Espacios con producto interno. Desigualdad de Schwartz. Espacios de
Hilbert.
Materiales:
Apuntes sobre convergencia
uniforme. (G. Moretti, Métodos Matemáticos de la
Física. Imprenta y Casa Editora Conti, Buenos Aires, 1959) ,
Otras pruebas de la
desigualdad de Schwartz.
Problemas para entregar: 1 a 5 de los problemas del Capítulo
2 (hay ligeras variaciones con los propuestos en Vidyasagar) y
Ejercicio 1 de los problemas Adicionales
al Capítulo 2.
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| 2 |
11/09 - 15/09
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Normas inducidas y medidas de matrices. Propiedades de medidas de matrices.
Teorema del Mapa Contractivo (o del punto fijo de Banach): Versión global.
Ejemplo de aplicación: Teorema de la ganancia
pequeña.
Versión local del Teorema del Mapa Contractivo.
Teoremas de existencia y unicidad de la solución de
ecuaciones diferenciales (versión local).Materiales:
"Justificación" del empleo de la medida
de la matriz para acotar la solución de las ecuaciones diferenciales.
Comentario sobre la
cota de los autovalores de una
matriz en base a su medida.
Artículo de Desoer, C.A, Haneda, H.
"The Measure of a Matrix as a
Tool to Analyze Computer Algortihms for Circuit Analysis". IEEE
Trans. Circ.Theory, Vol. 19, No. 5, September 1972, pp 480-486.
Problemas para entregar: Problema 13 (p. 33)
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18/09-22/09 |
Versión global del teorema de existencia y unicidad de la solución de
ecuaciones diferenciales.
Comentarios
sobre la condición de ser localmente o globalmente Lipschitz.
Ejemplos
de no unicidad en sistemas físicos.
Ejemplo
de aplicación del método de las iteraciones de Picard para la
resolución de ecuaciones diferenciales.
Cotas sobre la solución de ecuaciones diferenciales
lineales variantes en el tiempo. Ejemplos del Vidyasagar. Cotas sobre la
solución de ecuaciones diferenciales no lineales.Capítulo 3: Sistemas
de segundo orden. Introducción. Plano de fase. Campos
vectoriales suaves. Propiedades de las trayectorias. Ejemplo que
muestra que trayectorias cerradas son soluciones periódicas sólo para el
caso de sistemas autónomos. Método de linealización. Naturaleza de los
equilibrios de sistemas lineales: focos, nodos, centros, sillas.
Materiales:
-
el
Capítulo 1 de Khalil, pues trata con más detalles el caso de
sistemas lineales de segundo orden;
-
el
Capitulo 2 de Sastry;
-
el
Capítulo 2 de E. Atlee Jackson;
pues todos brindan una visión ligeramente diferente
del mismo tema.
(hay más documentos disponibles en la sección
Apuntes, que se irán listando aquí a medida que se dicten en
clase) Problemas para entregar: Ejercicio
2.15, 2.16 (p. 46) y 3.2 (p. 56)
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25/09-29/09 |
Teorema de Hartman-Grobman. Puntos de
equilibrio hiperbólicos y no hiperbólicos: Indefinición del método de
linealización. Soluciones periódicas. Ciclos límite. Teorema de
Bendixon (cuando no existen soluciones periódicas). Punto y
conjunto límite. Teoremade Dulac. Teorema de Poincaré-Bendixon (cuándo
existen soluciones periódicas). Ejemplos de aplicación
(de Verhulst). Ejemplo muy
interesante (de Strogatz).
Ejemplo que muestra que el
Teorema de PB no es aplicable a sistemas de dimensión mayor que 2 (de
Khalil). Teoría de índices.
Materiales:
Problemas para entregar: Ejercicio
3.5, 3.6 (pp. 65-66)
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2/10-6/10 |
Aplicación del Teorema de Poincaré-Bendixon
al oscilador de van de Pol. Sistemas Hamiltonianos. Sistemas gradiente.
Ejemplos. Método analítico para determinar
soluciones periódicas exactas. Ejemplos. Métodos analíticos para
determinar soluciones periódicas aproximadas: método de perturbaciones.
Materiales:
- Apunte sobre la aplicación del Teorema de Poincaré-Bendixon
al oscilador de van der Pol
- Apunte sobre sistemas de Lienard
- Apunte sobre sistemas Hamiltonianos y gradiente
Problemas para entregar: Ejercicio 3.14 (aplicación del
método de perturbaciones o series de potencias al oscilador de van der Pol)
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Lista de Problemas del Capítulo
3.
(Nota: se ha modificado el Problema 3.15, y se agregaron dos
problemas adicionales) |
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9/10-13/10 |
Métodos analíticos para
determinar soluciones periódicas aproximadas: método de
Krilov-Boguliubov. (El método KBM está
mejor explicado en E. Atlee Jackson).
Un ejemplo interesante que muestra que estos métodos son sólo
aproximados: Artículo de V. Singh ("A
Counterexample to Harmonic Linearization", IEEE Proceedings,
November 1975, p. 1610) junto con las soluciones obtenidas por dos
métodos diferentes (Series de potencias de 2do orden, y método
frecuencial de Allwright y Mees y Chua).
Capítulo 4: Métodos
aproximados de análisis. Función descriptora:
"casi-linealización" óptima (C.L.O). Señales con energía y
potencia promedio finita. Lista de Problemas del Capítulo
4. |
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16/10-20/10 |
Ejemplos de C.L.O. Función descriptora
(F.D.). Teoremas básicos. F.D. de algunas no linealidades con y sin
memoria. Un artículo de Sridhar con tablas
de F.D. de no linealidades típicas. Soluciones periódicas: argumentos informales.
Artículo clásico de Gelb y
Vander Velde sobre F.D. |
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Soluciones Periódicas: argumentos informales.
Ejemplo 4.1.74 y Ejemplo
4.1.75 (resueltos con Mathematica y Matlab): note que en el Ej. 74 del
texto hay un error en la función transferencia). Ejemplos de "falla" de los arumentos
informales: ejemplo de Dewey (A. G. Dewey, E. I. Jury; A note on
Aizerman's conjecture, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 10, pp. 482 -
483, October 1965): ejemplo del Oscilador de
Van der Pol. |
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Feriado (Día de la Raza) |
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23/10-27/10 |
Soluciones Periódicas: argumentos rigurosos
para sistemas tipo relé: teoría de Tsypkin. Condiciones de periodicidad de
velocidad y posición. Sistemas tipo relé ideal y relé con histéresis. Grafo
de Tsypkin. Sistemas con relé con zona muerta. Estabilidad de las
soluciones. Ejemplos. Comparación con los resultados de la función
descriptora. Soluciones Periódicas: argumentos rigurosos
para no linealidades en sectores. Preliminares. Teorema que permite descartar
la existencia de soluciones periódicas. |
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30/10-3/11 |
Teorema que permite asegurar la
existencia de soluciones periódicas. Ejemplo 4.2.78,
Ejemplo 4.2.79 de Vidyasagar
(observe que en la resolución del Ej. 79 .hay un error en el texto). Ejemplo 4.2.79 de Vidyasagar. Sistemas
singularmente perturbados. Apuntes de Khalil, Capítulo
9. Modelo típico. Ejemplos: motor de CC con
excitación independiente; realimentación de alta ganancia; circuito
eléctrico. Propiedades temporales del modelo típico: teorema de Tikhonov.
Ejemplo: solución aproximada y solución exacta del modelo del motor de
CC con excitación independiente. Ejemplo: Oscilador de Van der Pol como sistema
singularmente perturbado (consulte el Capítulo 9 de Khalil, páginas
369-372).
Determinación del período de oscilación en base al método de
perturbaciones singulares y comparación con otras técnicas. |
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Capítulo 5:
Estabilidad de Lyapunov. Definiciones: estabilidad, estabilidad
uniforme, inestabilidad. Ejemplos. Atractividad, atractividad uniforme,
estabilidad asintotica, estabilidad asintótica uniforme, estabilidad
exponencial, estabilidad globalmente uniformemente asintótica. Ejemplos
adicionales. Sistemas autónomos y periódicos. Algunos
preliminares: acotación de funciones no decrecientes por funciones de
clase K.
Otros documentos de interés:
Estos tres artículos están extraídos de A. M. Lyapunov, The General
Problem of the Stability of Motion, traducido y editado por A. T.
Fuller, Taylor & Francis, London, 1992, ISBN: 0748400621
Tabla de Definciones
y Teoremas del Capítulo.
Lista de Problemas del Capítulo
5. |
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6/11-10/11 |
Funciones localmente positivas definidas, positivas
definidas, radialmente no acotadas, decrecientes. Lemas para verificar
fácilmente las propiedades anteriores. Ejemplos. Derivada de una función a
lo largo de las trayectorias de un sistema. Conjuntos invariantes.
Conjuntos límites. Propiedades de conjuntos invariantes: Lemas. Caso
particular de sistemas periódicos: los conjuntos límite son invariantes.
Sistemas autónomos: dominio de atracción. Propiedades del dominio de
atracción. |
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13/11-17/11 |
Método directo de Lyapunov. Teoremas sobre
estabilidad y estabilidad uniforme. Comentarios. Ejemplos. Teoremas sobre estabilidad
asintótica. Ejemplos adicionales: elección
adecuada de la función candidato de Lyapunov; necesidad
que V(t,x) sea decreciente para asegurar la estabilidad asintótica
uniforme. |
| 11 |
20/11-24/11 |
Dominio de atracción:
ejemplos. Estabilidad exponencial. Teoremas sobre estabilidad global.
Ejemplos. Sistemas autónomos: Teoremas de Krasovskii-LaSalle.
Ejemplos. |
| 12 |
27/11-1/12 |
Teoremas sobre inestabilidad. Teorema de
Chetaev. Ejemplos.
Estabilidad de sistemas lineales: Estabilidad y la matriz de transición de
estados. Definiciones de estabilidad basadas en la medida de la matriz.
Sistemas autónomos: ecuación matricial de Lyapunov. Sistemas no
autónomos: existencias de funciones de Lyapunov cuadráticas. Sistemas
periódicos. Método de linealización de Lyapunov. |
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4/12-8/12 |
Dominio de atracción: elección de la matriz
Q "óptima". Revisión
del ejemplo 5.5.44. Ejemplos de aplicación del método de
linealización de Lyapunov. |
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El problema de Lur'e. Estabilidad absoluta.
Conjeturas de Kalman y de Aizerman.
Lema de Kalman-Yacubovich-Popov (KYP). Teorema de pasividad.
Transformación de lazo. Criterio del círculo. Ejemplos
del Teorema del círculo. Teorema de Popov. Ejemplos. |
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