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Extras Capítulo 4
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Función Descriptora
Oscilador van der Pol
J. H.Taylor

Materiales Adicionales al Capítulo 4:
Métodos aproximados de análisis

Lista de Problemas del Capítulo 4. (19/11/02)

Tabla de Definiciones y Teoremas del Capítulo 4. (9/12/02)

Función Descriptora

Derivación de la función auxiliar para el cálculo de la función descriptora de no linealidades tipo lineales a tramos.

Capítulo 12 de A. Papoulis, The Fourier Integral and its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962, que trata de las funciones correlación y autocorrelación, y su tratamiento frecuencial. (actualizado 20/01/05)

 

Tabla de funciones descriptoras de algunas no linealidades típicas
(véase también el artículo de R. Sridhar en los artículos sobre Función Descriptora) (10/10/02; actualizada ligeramente el 30/09/04)

Ejemplos de uso de la función descriptora: Ejemplo 4.1.74 y Ejemplo 4.1.75 (revisados) de Vidyasagar. (24/10/02)

Estudio de la confiabilidad de los resultados obtenidos con el método de la función descriptora. Ejemplos de sistemas donde "falla" el método clásico, y algunos comentarios sobre la determinación de la estabilidad de las soluciones periódicas. (10/11/03)

  • Ejemplo del sistema de Dewey, que oscila aunque el diagrama de Nyquist no corta al grafo de la función descriptora (A. G. Dewey, E. I. Jury; A note on Aizerman's conjecture, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 10, pp. 482 - 483, October 1965.) (9/10/02)

  • Ejemplo del oscilador de van der Pol, donde el método de la función descriptora da resultados muy conservativos (gran error en la estimación de la frecuencia de oscilación)

Métodos exactos

Método de Tsypkin

Argumentos rigurosos para sistemas tipo relé: teoría de Tsypkin. Condiciones de periodicidad de velocidad y posición. Sistemas tipo relé ideal y relé con histéresis. Grafo de Tsypkin. Sistemas con relé con zona muerta. Estabilidad de las soluciones. Ejemplos. Comparación con los resultados de la función descriptora.

Argumentos rigurosos para el análisis de oscilaciones utilizando la función descriptora: Ejemplo 4.2.78 y Ejemplo 4.2.79 (corregidos) de Vidyasagar. También el Ejemplo 7.14 de Khalil, (p. 294)
(Estos ejemplos están resueltos utilizando el Teorema 4.2.62, p. 119, y no el 4.2.72, p. 121). (24/10/02, con correcciones el 1/10/03. Ejemplo de Khalil agregado el 16/01/05)

Perturbaciones Singulares

Apunte sobre perturbaciones singulares, basado en el Capítulo 11 de Khalil (3ra Ed.), Singular Perturbations, mucho más detallado que la última parte del Capítulo 4 de Vidyasagar. Incluye el Comentario al Ejemplo 11.2 de Khalil (realimentación de alta ganancia analizado con la técnica de perturbaciones singulares), que muestra que no siempre una realimentación de alta ganancia mejora el desempeño de la cascada de sistemas.
(actualizado con algunas correcciones menores el 22/11/07)

Apunte donde se compara la calidad de distintas aproximaciones en la estimación del período de la oscilación del sistema de van der Pol (usando los métodos de Krylov-Boguliubov, función descriptora, perturbaciones singulares, y otras aproximaciones "famosas" en la literatura sobre el tema.

Otros Materiales

Un tipo de función descriptora para sistemas discretos:
Pertti M. Mäkilä, On Optimal LTI Approximation of Nonlinear Systems, IEEE Trans. Aut. Control, 49, 7, july 2004, pp. 1178-1182.

 

Sección 8 del Capítulo 3 de A. Gelb, W. E. Vander Velde, Multiple Input Describing Function and Nonlinear System DesignMcGraw-Hill, New York,1968, pp.185-204.

 

Ya. Z. Tsypkin, On the determination of Steady-State Oscillations of On-Off Feedback Systems,
IRE Trans. Circuit Theory
, CT-9, 3, September 1962, pp. 279-282.

 

L. Cao, H. M. Schwartz, Complementary Results on the Stability Bounds of Singularly Perturbed Systems,
IEEE Trans. Aut. Control
, Vol. 49, No. 11, Nov. 2004, pp. 2017-2021.

 

Una aplicación del método de función descriptora (a pesar del título) para describir el comportamiento caótico en el Circuito de Chua:
F. Acar Savaci, Serkan Günel, Harmonic Balance Analysis of the Generalized Chua's Circuit,
International Journal of Bifurcation and Chaos
, 16, 8, 2006, pp. 2325-2332.

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Última modificación: Octubre 24, 2007